极值点偏移是高考导数题的一种形式,初见这种题目会显得比较迷茫,但是只要掌握了其主要做法之后,就会发现极值点偏移问题其实是千篇一律的。话不多说先看例题:

例题

已知函数\(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\)有两个零点
①求a的取值范围
②设\(x_1,x_2是f(x)\)的两个不同零点,证明:\(x_1+x_2<2\)

第一问是一个正常的导数问题,直接分离参数解决,与本篇文章所讲的问题无关,可以直接跳过

数学函数图形
如果有兴趣了解的话,\(h(x)\)的图象长这个样子,只要画出来就会发现答案是一目了然的了

$$
\begin{eqnarray*}
&&f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2有两个零点 \\
&&\ \ \ \ \ \ \ \ =>(x-2)e^x=-a(x-1)^2有两个零点 \\
①&&x=1,-e≠0,故x=1不为f(x)的零点 \\
②&&x≠1\\
&&a=\frac{(2-x)e^x}{(x-1)^2}=h(x) \\
&&h'(x)=\frac{e^x(1-x)(x^2-4x+5)}{(x-1)^2},x≠1 \\
&&若x\ge1,则h'(x)<0,h(x)在(1,+\infty)上单调递减 \\
&&\lim\limits_{x\to1+}h(x)=+\infty,\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=-\infty \\
∴&&当x∈(1,+\infty)时,h(x)∈(-\infty,+\infty) \\
&&同理可得,当x∈(-\infty,1)时,h(x)∈(0,+\infty) \\
∴&&当且仅当a∈(0,+\infty)时,a=h(x)有两个零点\\&&即f(x)有两个零点
\end{eqnarray*}
$$

第二问是典型的极值点偏移问题

数学函数图形
该图像是\(a=1\)时,f(x)的图像,极值点偏移含义就是极值点不位于两零点的正中间而是偏向某一侧

$$
\begin{eqnarray*}
&&不妨设x_1<x_2\\
&&f'(x)=(e^x+2a)(x-1)\\
&&由第一问得,有两个零点时,a>0\\
∴&&e^x+2a>0恒成立\\
∴&&当x<1时,f'(x)<0;当x>1,f'(x)>0\\
&&f(x)≥f(1)=-e<0\\
&&不妨设x_1<x_2\\
&&则有x_1<1<x_2\\
&&即f(x)在(-\infty,1)单调递减,在(1,+\infty)单调递增\\
&&设辅助函数F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)e^x+xe^{2-x}\\
&&F'(x)=(x-1)(e^x-e^{2-x})\\
∵&&e^x-e^{2-x}在R上单调递增,且x=1时,e^x-e^{2-x}=1-1=0\\
∴&&F'(x)≥0在R上恒成立\\
∴&&F(x)在R上单调递增\\
∵&&F(1)=-e+e=0\\
∴&&当x<1时,f(x)<f(2-x);当x>1时,f(x)>f(2-x)\\
∵&&x_1和x_2分别为f(x)两不同零点\\
∴&&f(x_1)=f(x_2),x_1<1<x_2\\
∴&&f(x_2)=f(x_1)<f(2-x_1)\\
∵&&x_2>1,2-x_1>1,f(x)在(1,+\infty)单调递增\\
∴&&x_2<2-x_1\\
&&即x_1+x_2<2成立\\
\end{eqnarray*}
$$

极值点偏移问题的特征与解题方案

特征

通过阅读上面的例题,不难看出极值点偏移问题的特征。其最典型的设题方式为\(x_1+x_2>2a\)(不等号符号可变),或者稍加包装的设题方式\(e^{x_1}·e^{x_2}>e^{2a}\)之类,在题目中很容易识别出来。

解题方案

极值点偏移问题的形式千篇一律,只需要套用模板就可以解决。仔细阅读上面的解题过程,就可以总结出套路。

如果题目不是最典型的设题方式的话,先通过简单的代数变换将其变为典型模式,然后开始解题。

  1. 对原函数\(f(x)\)求导,得到原函数的单调性,正常情况下极值点为\(x=a\)
  2. 设出辅助函数\(F(x)=f(x)-f(2a-x)\)并求导,正常情况下会发现\(F(x)\)是一个单调函数,有且仅有唯一零点\(x=a\),并由此得到\(在x<a时,f(x)<f(2a-x);在x>a时,f(x)>f(2a-x)\)(不等号方向可变)
  3. \(x_1\)与\(x_2)\)为两零点,有\(f(x_1)=f(x_2)\)
  4. 不妨设出两零点大小关系并列出不等式\(f(2a-x_1)>f(x_1)=f(x_2)\)(不等号方向可变)
  5. 由\(f(x)\)单调性推出\(2a-x_1>x_2即x_1+x_2<2a\)(不等号方向可变)得证。

只需要记住上面五个步骤,按部就班,极值点偏移问题没有任何难度!

5 4 votes
文章评分
2 评论
最旧
最新 得票最多
Inline Feedbacks
View all comments