创作于2020年8月2日 @ 下午11:55

写在前面:由于我对于洛必达法则的了解也仅仅停留在一个比较浅的层次上,所以本文中,我也只是站在高中,应对高考的导数题的角度,来谈洛必达法则,如有不完备之处请谅解,如有错误的地方请指正!

又是一篇满是Latex的文章,纯手的我打好头疼

内容

洛必达法则(L’Hospital’s rule)是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法 。众所周知,两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在,也可能不存在。因此,求这类极限时往往需要适当的变形,转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法 。

——百度百科《洛必达法则》

说的不那么准确,就是当遇到\(\frac{0}{0}\)或\(\frac{+\infty}{+\infty}\)的情况时,有\(\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。不难看出,洛必达法则确实很大限度地简化了计算过程,所以是十分值得掌握的一个知识。(其实洛必达法则还有很多拓展,但站在高中的角度上讲,我暂且不提)

这里解释一下什么叫\(\frac{0}{0}\)或\(\frac{\infty}{\infty}\):当\(x \to x_0\)时,有\(f(x) \to 0\)且\(g(x) \to 0\),即为\(\frac{0}{0}\)型。同理,\(\frac{\infty}{\infty}\)就是当\(x \to x_0\)时,有\(f(x) \to \infty\)且\(g(x) \to \infty\)

使用情景

示例

不知道你有没有遇到过不会计算\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{x}\)的情况,这就是一个典型的\(\frac{0}{0}\)型,这时候我们就可以用洛必达法则快速求解:$$设f(x)=ln(x+1),g(x)=x\\ 则f'(x)=\frac{1}{x+1},g'(x)=1\\ ∴\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln{\left(x+1\right)}}{x}=\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{1}{\frac{1}{x+1}}=\frac{1}{1}=1$$

看了这一个例子想必你已经对洛必达法则的用法有了了解,这个还是很好理解的。下面是一些练习题:

练习

$$\begin{align*}
&(1) \lim\limits_{x \to 0^+}\frac{e^x-e^{-x}}{x}\\
&(2) \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x^2+3x+2}{x^2-4x+3}\\
&(3) \lim\limits_{x \to a^+}\frac{sin x-sin a}{x-a}
\end{align*}$$

答案:(1) 2 (2) 1 (3) cos a 你一定都做对了吧?

简单证明

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如图,我们可以假设有一点\(A(g(x),f(x))\),设过点A与原点O的直线为\(l\)(图中坐标原点忘标了,懒得重新传了,下次一定,请见谅),则直线\(l\)的斜率即为\(\frac{f(x)}{g(x)}\),要证明洛必达法则,我们还需要表示出\(\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。

设\(f(x)和g(x)\)定义域交集为C,函数\(h(x)=\{(g(x),f(x))|x∈C\}\),例如假设图中这个很丑很丑的曲线为\(h(x)\)的图象(因为\(g(x)和f(x)\)可以是各种函数,所以\(h(x)\)可以是任意图象),图中\(B(g(b),f(b))\)为任意定点,则直线\(AB\)的斜率\(k_{AB}=\frac{f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}\),当A向B逼近的过程中,\(k_{AB}=\lim\limits_{x \to b}\frac{f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}=\lim\limits_{x \to b}\frac{\frac{f(x)-f(b)}{x-b}}{\frac{g(x)-g(b)}{x-b}}=\lim\limits_{x \to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}\),即\(h(x)在x=b处切线斜率为\frac{f'(b)}{g'(b)}\),又B为任意点,则有\(h'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。

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现在,我们所需要的\(\frac{f(x)}{g(x)}和\frac{f'(x)}{g'(x)}\)都有了,思考一下如何推导他们之间的关系。

\(\frac{0}{0}\)型

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不妨使\(h(x)\)图象过原点,并使\(b=0\),即B点与原点重合,有\(k_{AB}=k_{AO}=\frac{f(x)}{g(x)}\),此时令\(x \to b^+,则k_{AB}=\frac{f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}\),即\(\lim\limits_{x \to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}\),就是洛必达法则。

\(\frac{\infty}{\infty}\)型

不妨使\(h(x)\)图象在\(x \to \infty\)时趋于\(\infty\),同时令\(b \to +\infty\),此时可以发现有\(l_{OA}//l_{AB}\),\(k_{AB}=\frac{f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}=\frac{f(x)}{g(x)}\),再使\(x \to b\),由我们上面的结论\(k_{AB}=\frac{f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}\),得证。

(以上证明纯自己YY,如有错误请不吝赐教!!!)

高考中洛必达法则的使用

老师一直在强调,洛必达法则的证明利用了极限的定义,但是高中课本没有定义极限,属于超纲的范畴,高考很有可能会扣分,能不用就别用。高中课本没有定义极限确实是个大笑话,因为高中课本上确实没有极限的定义,但是高中又学了导数,但是导数又是用极限来定义的,不知道课标制作组在想什么。但是为了高考的分数我们还是不得不低头,除非考场上实在没有时间写了,否则千万不要冒这个风险,我们可以用一些方式巧妙地悄悄用洛必达法则。

非要用洛必达法则

没有极限的定义怎么办,那我就不用极限符号喽,直接将极限用文字表述出来:“\(当x趋向于x_0时,f(x)趋向于……\)”,你看我也没用定义,我说的也没错,你又不能扣我分✌。

用其他方法代替

在计算恒成立问题或存在性问题时,很多人习惯分参后直接用洛必达法则来就极限,但其实可以直接建立辅助函数,利用最值比较思想解题,过程并不比洛必达法则复杂多少,最重要的是能避免洛必达法则带来的麻烦,甚至误用导致的错误。

在此我最建议的做法是:自己用洛必达法则算出答案,在答题纸上用别的方法写出答案,这样也可以作为一次检查。

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